sum to infinity

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नोट : यह पोस्ट हंसी मजाक के लिए है - इसे गंभीरता से न लिया जाए 


क्या आप जानते हैं कि

1+2+3+4+5+6+.....  कितना होगा ? असंख्य ? अरिथमैटिक प्रोग्रेशन से तो असंख्य ही लगता है।

नही

यह होगा =   -  (१/१२ )

क्या कह रहे हैं  ? यह हो नहीं सकता ? तो यह लीजिये प्रूफ

मान लीजिये 

SUM1  = १ - १ + १ - १ + १ - १ + .....     यह कितना होगा ?

यदि odd बार जोड़ा जाए तो १ और even बार जोड़ा जय तो ०

उदाहरण
१=१
१-१=०
१-१+१=१
१-१+१-१=०
१-१+१-१+१=१
१-१+१-१+१-१=०
:
:
यह जोड़ १ और ० का एवरेज लेकर (१ / २ = ०.५ ) माना जाता है गणित में (इसके अन्य प्रूफ भी हैं लेकिन यहां इतना ही )
तो हमें मिला

SUM १ = १ / २ 

अब एक और जोड़ लेते हैं

SUM २ =
१-२+३-४+५-६+७-८+९-१०+११ -१२+१३-१४+१५ .......
यह कितना है ?

हम इसे दो बार लिख कर जोड़ते हैं
SUM २ =  १-२+३-४+५-६+७-८+९-१०+११ -१२+१३-१४+१५.......
SUM २ =  १-२+३-४+५-६+७-८+९-१०+११ -१२+१३-१४+१५ .......

अब हम दूसरी लाइन को ज़रा सा खिसका कर लिखेंगे 

SUM २ =  १-२+३-४+५-६+७-८+९-१०+११ -१२+१३-१४+१५.......
SUM २ =     १-२+३-४+५-६+७-८+९-१०+११ -१२+१३-१४+१५ ....... 

हमें क्या मिलेगा ?

    SUM २    =  १  -२  +३  -४  +५    -६   +७   -८   +९   -१०  +११ .......
+  SUM २    =       १   -२  +३   -४   +५   -६   +७   -८   +९    -१० ....... 

= 2(SUM2) =  १  -१   +१ -  १ +१     - १  +१     -१   +१   -१    +१  .........  = SUM १ 

अर्थात SUM २ = (SUM १)  / २  

लेकिन SUM १ तो १/२ था न? इसलिए 

SUM २ = १/४ 

अब अपने पहले प्रश्न पर लौटते हैं 

S  = १+२+३+४+५+६....... 

अब निकालें 

S-SUM २ =  १+२+३+४+५+६.......  - (१-२+३-४+५-६+...... )

                =     १+२+३+४+५+६....... 

                    - (१-२+३-४+५-६+...... )

                = (१-१)+(२+२)+(३-३)+(४+४)+(५-५)+(६+६) ....... 

                =  ० + ४ + ० + ८ + ० + १२ + ...... 

                = ४+८+१२+ ...... 

                = ४ ( १+२+३+४+...... )

                = ४ (S)

=>S-4S  = SUM2

=> (-3S) = SUM2 = 1/4

:)

अर्थात 

S= -(1/12)

HENCE PROVED :) :) :)

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